MEDIA ARITMÉTICA

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Definición

Dados los n números {x 1, x 2,…, x n}, la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra, mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n: donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se da el resultado

Propiedades

La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).

La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética.

Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad.

Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante.

La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:

La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos:

La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribución.

La media es el centro de gravedad de la distribución de la variable. La media muestral es donde el diagrama de puntos se equilibra (Wild & Seber, 1999, 63). Es decir, la suma de las desviaciones de los valores con respecto a ella es igual a cero.

La media del producto de una constante a por una variable X es igual al producto de la constante por la media de la variable dada. Es decir, si se efectúa un cambio de unidad de medida a los datos (por ejemplo de metros a centímetros), la media queda afectada por dicho cambio de escala.

La media de la suma de una constante entera a con una variable X es igual a la suma de la constante con la media de la variable dada. O sea, al efectuar un cambio en el origen desde el que se han medido los datos, la media queda afectada por dicho cambio de origen.

La media está influenciada por los valores de cada uno de los datos.

La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos, ni siquiera de su misma naturaleza: datos enteros pueden tener una media decimal.

La media es un representante de los datos a partir de los que ha sido calculada, es decir, es un número que distingue un grupo de datos de otros (aunque es importante tener en cuenta medidas de dispersión para diferenciar grupos de datos con la misma media).

En otros términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética.

Por ejemplo, es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167.

En nuestra investigación, al recaudar los datos, la formula la sacamos para sacar un promedio en el que las adolescentes se embarazan.

por ejemplo: al tener edades recabadas de las adolescentes que salieron embarazadas en el estado de Oaxaca, se aplica la formula para saber cual fue el promedio o la edad general en que se embarazaron.

Edades: 14,15,16,16,16,17,17,18,18,17,17,15,16...

Promedio: 15.

BINOMIO DE NEWTON

El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665, fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el funcionario y administrativo de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La primera carta tenía fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a un pedido del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y denomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz. Newton responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la serie de binomios.

A partir de este hallazgo Newton intuyó que era posible operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.
Newton no se encargó de publicar jamás el teorema del binomio. Lo hizo el matemático británico, John Wallis en el año 1685 en su Algebra, en la cual atribuyó a Newton el gran hallazgo.

Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un binomio usando para esto números combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede formular la potencia que se requiere como la suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia. Vamos entonces a teorizar la fórmula que nos dejará elevar a una potencia cualquiera de exponente natural, n, un binomio. Con este modo se puede obtener que,

Para esto, vamos a ver cómo se desarrollan o las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio consiguiente se puede observar el seguimiento de esta secuencia,

Sería el llamado triángulo de Tartaglia que es obtenido a partir de la notación en filas de los números combinatorios partiendo desde los de numerador 1. Entonces cada una de estas cifras es correspondiente al valor de un número combinatorio, de la siguiente forma:

Vemos que cada fila comienza y finaliza en 1 y que los números que figuran forman una fila de modo simétrico, es decir el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, y así sucesivamente. Cada uno de los números es la suma de los dos que tiene encima.

En cualquier momento se puede encontrar el valor de un número combinatorio cualquiera sea si recordamos el cálculo con la siguiente fórmula:

Por ejemplo si se quiere calcular,

Si prestamos atención a las potencias de (a+b) de nuevo, se puede ver que las potencias de a empiezan elevadas a n, y disminuye uno a uno hasta llegar a cero. Con los exponentes de b acontece lo contrario a esto. Con todo lo anterior ya podemos proceder al cálculo directamente de la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes corresponderán a la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Ahora ya podemos anotar la fórmula general del binomio de Newton, que sería la siguiente,

Se puede anotar abreviadamente del siguiente modo,

Ya que el binomio de Newton sirve para desarrollar un binomio a cualquier potencia, con esta formula podríamos saber el aumento de los embarazos si son constantes en determinados n mese, años, décadas, etc.