MEDIA ARITMÉTICA
En
matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o
simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico
de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte del principio
de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de
todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es
una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los
principales estadísticos muestrales.
La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los
datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
Definición
Dados los n
números {x 1, x 2,…, x n}, la media aritmética se define como:
Se utiliza
la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media
de una muestra, mientras que la letra µ (mu) se usa para la media aritmética de
una población, es decir, el valor esperado de una variable.
En otras
palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n: donde
n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de datos se
da el resultado
Propiedades
La suma de
las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).
La media
aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable
con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante
coincide con la media aritmética.
Si a todos
los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética
queda aumentada en dicha cantidad.
Si todos los
valores de la variable se multiplican por una misma constante la media
aritmética queda multiplicada por dicha constante.
La media
aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la
media geométrica:
La media
aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del
conjunto de datos:
La media es
un valor comprendido entre los extremos de la distribución.
La media es
el centro de gravedad de la distribución de la variable. La media muestral es
donde el diagrama de puntos se equilibra (Wild & Seber, 1999, 63). Es
decir, la suma de las desviaciones de los valores con respecto a ella es igual
a cero.
La media del
producto de una constante a por una variable X es igual al producto de la
constante por la media de la variable dada. Es decir, si se efectúa un cambio
de unidad de medida a los datos (por ejemplo de metros a centímetros), la media
queda afectada por dicho cambio de escala.
La media de
la suma de una constante entera a con una variable X es igual a la suma de la
constante con la media de la variable dada. O sea, al efectuar un cambio en el
origen desde el que se han medido los datos, la media queda afectada por dicho
cambio de origen.
La media
está influenciada por los valores de cada uno de los datos.
La media no
tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos, ni siquiera de su
misma naturaleza: datos enteros pueden tener una media decimal.
La media es
un representante de los datos a partir de los que ha sido calculada, es decir,
es un número que distingue un grupo de datos de otros (aunque es importante
tener en cuenta medidas de dispersión para diferenciar grupos de datos con la
misma media).
En otros
términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media aritmética.
Por ejemplo,
es fácil deducir que en una reunión de 38 individuos hay necesariamente al
menos 4 que nacieron el mismo mes. El promedio de individuos que nacieron por
mes es 38/12 ≈ 3,167. Luego en algún mes nacieron en una cantidad entera y
mayor o igual que el promedio, o sea 4 ≥ 3,167.
En nuestra investigación, al recaudar los datos, la formula la sacamos para sacar un promedio en el que las adolescentes se embarazan.
por ejemplo: al tener edades recabadas de las adolescentes que salieron embarazadas en el estado de Oaxaca, se aplica la formula para saber cual fue el promedio o la edad general en que se embarazaron.
Edades: 14,15,16,16,16,17,17,18,18,17,17,15,16...
Promedio: 15.
BINOMIO DE NEWTON
El teorema del binomio fue descubierto en el año 1665, fue
notificado por primera vez en dos cartas que fueron enviadas por el funcionario
y administrativo de la Royal Society, Henry Oldenburg en el año 1676. La
primera carta tenía fue fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a un
pedido del filósofo, jurista y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz,
quien quería tener conocimiento de las labores e investigaciones de matemáticos
británicos sobre series infinitas. Por lo cual Newton envía el enunciado de su
teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz responde, en una carta fechada el 17
de agosto de 1676, que se encuentra ante una técnica general que le permite
obtener distintos resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y
denomina algunas de sus ramificaciones por las investigaciones de Leibniz.
Newton responde también con una carta en la que detalla cómo ha descubierto la
serie de binomios.
A partir de este hallazgo Newton intuyó que era posible
operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas
finitas.
Newton no se encargó de publicar jamás el teorema del binomio. Lo hizo el matemático británico, John Wallis en el año 1685 en su Algebra, en la cual atribuyó a Newton el gran hallazgo.
Newton no se encargó de publicar jamás el teorema del binomio. Lo hizo el matemático británico, John Wallis en el año 1685 en su Algebra, en la cual atribuyó a Newton el gran hallazgo.
Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra
formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para así proceder al
cálculo de las potencias de un binomio usando para esto números combinatorios.
Por medio de esta fórmula se puede formular la potencia que se requiere como la
suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el
triángulo de Tartaglia. Vamos entonces a teorizar la fórmula que nos dejará
elevar a una potencia cualquiera de exponente natural, n, un binomio. Con este
modo se puede obtener que,
Para esto, vamos a ver cómo se desarrollan o las potencias
de (a+b)
Observando los coeficientes de cada polinomio consiguiente
se puede observar el seguimiento de esta secuencia,
Sería el llamado triángulo de Tartaglia que es obtenido a
partir de la notación en filas de los números combinatorios partiendo desde los
de numerador 1. Entonces cada una de estas cifras es correspondiente al valor
de un número combinatorio, de la siguiente forma:
Vemos que cada fila comienza y finaliza en 1 y que los
números que figuran forman una fila de modo simétrico, es decir el primero es
igual al último, el segundo igual al penúltimo, y así sucesivamente. Cada uno
de los números es la suma de los dos que tiene encima.
En cualquier momento se puede encontrar el valor de un
número combinatorio cualquiera sea si recordamos el cálculo con la siguiente
fórmula:
Por ejemplo si se quiere calcular,
Si prestamos atención a las potencias de (a+b) de nuevo, se
puede ver que las potencias de a empiezan elevadas a n, y disminuye uno a uno
hasta llegar a cero. Con los exponentes de b acontece lo contrario a esto. Con
todo lo anterior ya podemos proceder al cálculo directamente de la siguiente
potencia de (a+b), sus coeficientes corresponderán a la fila quinta del
triángulo de Tartaglia.
Ahora ya podemos anotar la fórmula general del binomio de
Newton, que sería la siguiente,
Se puede anotar abreviadamente del siguiente modo,
Ya que el binomio de Newton sirve para desarrollar un binomio a cualquier potencia, con esta formula podríamos saber el aumento de los embarazos si son constantes en determinados n mese, años, décadas, etc.
